Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 2000/2001 (21/2/2001)

I

Para uma partícula descrita por um spinor $u(p,\lambda)$ podemos definir o 4-vector polarização por

$$s^{\mu}=\frac{1}{2m}\, \overline{u}(p,\lambda)\, \gamma^{\mu} \gamma_5 u(p,\lambda)$$

a)

Mostre que $s \cdot p =0$.

b)

Calcule $s_{\mu}$ para a partícula em repouso ($\vec p=0$) com

$$\chi_{+}=\left( \matrix{1\cr0} \right)\quad ; \quad \chi_{-}\left( \matrix{0\cr1} \right)$$

c)

Mostre que s²=-1.

d)

Suponha que para a partícula em repouso o vector polarização é dado por

$$s^{\mu}=(0,\vec \eta)\qquad \hbox{com}\qquad \vec \eta \cdot \vec \eta=1$$

Mostre que no referencial onde a partícula se move com momento $\vec p$ o vector polarização é dado por

$$s^{\mu}=\left(\frac{\vec \eta \cdot \vec p}{m},\vec \eta + \frac{\vec p \, (\vec \eta \cdot \vec p)}{(E+m)\, m}\right)$$

II

Considere o processo $\nu_{\mu} + e^- \rightarrow\mu^- + \nu_e + \gamma$no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k)\, {\cal M}_{\mu}$ onde k é o 4-momento do fotão, então temos $k^{\mu} {\cal M}_{\mu }=0$.

Nota: O fotão tem interacção com todas as partículas carregadas, e portanto também com o $W^{\pm}$. O vértice é

onde os momentos e as partículas são todas consideradas a entrar no vértice.

III

Considere o processo $\nu_{\mu} +e^- \rightarrow\mu^- + \nu_e$ no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas mas admita que o acoplamento do W com os leptões é modificado para

$$i\frac{g}{\sqrt{2}}\, \gamma^{\mu}\, \frac{(1-\gamma_5)}{2} ... ...}{\sqrt{2}}\, \gamma^{\mu}\, \frac{(1-\epsilon\, \gamma_5)}{2}$$

a)

Escreva a amplitude invariante para o processo.

b)

Considere que todas as energias são muito inferiores à massa do W. Escreva a expressão para a amplitude nessa aproximação.

c)

Calcule a secção eficaz diferencial $d\sigma/d\Omega$no referencial do centro de massa (CM), no limite em que se desprezam todas as massas dos fermiões (mas sendo ainda válida a aproximação da alínea anterior). Os ângulos em $d\Omega$são os que faz no CM a direcção do $\mu^-$ com a direcção do $\nu_{\mu}$ incidente.

d)

Calcule a secção eficaz total $\sigma$ no CM. Com que precisão tinha que medir $\sigma$ para ter um erro de 10% na determinação de $\epsilon$?

Dados:

$$\begin{array} {l} m_e=0.511\, MeV, m_{\mu}=105.658\, MeV, G_F=1.16639 \times 10^{-5}.\end{array}$$