INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 2001/2002 (30/1/2002)

I

a)

Construa o Hamiltoniano H da equação de Dirac para partículas livres no espaço dos momentos.

b)

Calcule o comutador $\left[H,\vec L\right]$, onde $\vec L= \vec r \times \vec p$ é o momento angular orbital.

c)

Calcule o comutador $\left[H,\vec S\right]$, onde $\vec S= \frac{1}{2} \vec \Sigma$ é o momento angular intrínseco ou spin.

d)

Use os resultados anteriores para calcular $\left[H,\vec J\right]$, onde $\vec J = \vec L + \vec S$. Comente.

II

Considere o processo $t(p) \ra b(q_1) + W^+(q_2) + \gamma(k)$ no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas, onde p, q₁, q₂ e k são os momentos das partículas indicadas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k)\, {\cal M}_{\mu}$ onde k é o 4-momento do fotão, então temos $k^{\mu} {\cal M}_{\mu }=0$.

Nota 1: O fotão tem interacção com todas as partículas carregadas, e portanto também com o $W^{\pm}$. Os vértices com o t e o b estão no livro. O vértice com o $W^{\pm}$ é,

Nota 2: O vector de polarização do $W^{\pm}$ satisfaz $q_2^{\mu} \epsilon_{\mu}(q_2)=0$.

III

Considere o decaimento do quark top, $t \ra b + W^+$, quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Calcule a largura de decaimento em função de m_t, m_b e m_W, no referencial em que o top está em repouso.

d)

Calcule o tempo de vida média do top, no referencial em que o top está em repouso e noutro referencial em que tem velocidade c/2.

Dados: m_t=175 GeV, m_b=5 GeV e m_W=80 GeV.