Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 2003/2004 (9/7/2004)

I

Considere um electrão descrito pela equação de Dirac.

a)

Mostre que no caso do electrão livre se tem,

$$\frac{d (\vec \Sigma \cdot \vec p)}{d t}=0$$

onde

$$\vec \Sigma =\left( \matrix{ \vec \sigma & 0\cr 0 & \vec \sigma } \right)$$

Qual o significado desta lei de conservação?

b)

Considere agora que o electrão está num campo electromagnético exterior $A^{\mu}$, independente do tempo. Calcule agora

$$\frac{d (\vec \Sigma \cdot \vec \pi)}{d t}$$

onde $\vec \pi=\vec p -e \vec A$ é o momento canónico.

c)

Em que condições

$$\frac{d (\vec \Sigma \cdot \vec \pi)}{d t}=0\, ?$$

Qual o interesse prático deste resultado?

Sugestão: Para um operador $\mathcal{O}$ que não dependa do tempo tem-se

$$\frac{d\mathcal{O}}{d t}= i \Big[H, \mathcal{O}\Big]$$

onde H é o Hamiltoniano do sistema. Não esquecer que H é diferente nas alíneas a) e b).

II

Considere o processo $Z^0(p) \ra e^-(q_1) + e^+(q_2) + \gamma(k)$ no quadro das interacções electrofracas, onde p, q₁, q₂ e k, são os momentos das partículas indicadas. A interacção do Z⁰ com fermiões é dada pelo vértice seguinte,

$$\hskip 20mm i{g \over \cos \theta_W}\ \gamma^{\mu} ( g_V^f- g_A^f \gamma_5)$$

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k) {\cal M}_{\mu}$ onde k é o 4-momento do fotão, então temos $k^{\mu} {\cal M}_{\mu}=0$.

III

Considere o processo

$$\nu_e + e^+ \ra S^+ + S^0$$

numa teoria onde existem os seguintes vértices,

onde S⁺, S⁰ são escalares (spin 0), e f⁺ é um fermião (spin 1/2) com massa m_f. $\nu_e$ e e⁺ são, respectivamente, o neutrino do electrão e o positrão.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Calcule no referencial do centro de massa a secção eficaz diferencial, $d\sigma /d \Omega$, no limite em que se pode desprezar a massa de todas as partículas no estado inicial e final. $\Omega$ corresponde ao ângulo sólido do S⁺ em relação à direcção do $\nu_e$.

d)

Calcule o termo dominante da secção eficaz total, $\sigma(s)$, quando $\sqrt{s} \gg m_f$. Cresce ou decresce com $\sqrt{s}$?
Sugestão: use os seguintes resultados,

$$\int_{-1}^1dx\, \frac{1}{(1+2 \varepsilon -x)^2} \frac{1}{2 \varepsilon} - \frac{1}{2} + \mathcal{O}(\varepsilon)\nn$$ = (1)

$$\int_{-1}^1dx\, \frac{x}{(1+2 \varepsilon -x)^2} \frac{1}{2 \varepsilon} + \left(\ln \varepsilon +\frac{1}{2} \right) + \mathcal{O}(\varepsilon)\nn\nn$$ = (2)

$$\int_{-1}^1dx\, \frac{x^2}{(1+2 \varepsilon -x)^2} \frac{1}{2 \varepsilon} + \left(\ln \varepsilon +\frac{7}{2} \right) + \mathcal{O}(\varepsilon)\nn$$ = (3)

onde $\varepsilon \ll 1$.

Informação útil

1. Na representação de Dirac temos

   
   

   $$\vec \alpha =\left(\matrix{0&\vec \sigma \cr \vec \sigma &0}\right), \qquad \beta =\left(\matrix{1&0 \cr 0&-1}\right),$$
   
   

2. 
   
   $$\Big[A,B C\Big]= \Big[A,B\Big] C + B \Big[A,C\Big]$$