INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 1996/97

(21/2/97)

I

Verifique explicitamente as seguintes identidades:

a)

$\ovl{u}(p_1) \gamma_{\mu} u(p_2)\, (p_1 - p_2)^{\mu}= A\, m^2$. Determine a constante numérica (sem dimensões) A sabendo que $\ovl{u}$ e u dizem respeito ao mesmo fermião.

b)

$\left( C \sigma_{\mu \nu} \right)^T =\epsilon_T C \sigma_{\mu\nu}$ ; $\left( C \gamma_{\mu} \gamma_5 \right)^T =\epsilon_A C \gamma_{\mu} \gamma_5$, onde C é a matriz de conjugação de carga. Determine os sinais $\epsilon_T$ e $\epsilon_A$.

c)

$\gamma^{\alpha} \sigma^{\mu}{}_{\alpha} \gamma^{\nu}= A g^{\mu \nu} + B g^{\mu \nu} \gamma_5 +C \sigma^{\mu \nu}$. Determine A, B e C.

II

Considere o processo $Z^0 \ra e^- e^+ \gamma$ no modelo standard (use os acoplamentos dados no Cap. 5 do livro).

a)

Desenhe os diagramas que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude total na forma

$$M= \epsilon^{\nu} (P) \epsilon^{\mu} (k) \ M_{\nu \mu}$$

onde P e k são os 4-momentos do Z⁰ e $\gamma$, respectivamente.

c)

Mostre a invariância de gauge em relação ao fotão, isto é,

$$k^{\mu}\ M_{\nu \mu}=0$$

III

Considere uma teoria em que existe violação de número leptónico devido à existência da interacção seguinte

i g (O_L P_L +O_R P_R)

onde g é a constante do grupo SU(2) do modelo standard, isto é

$${g^2 \over 8\, m^2_W}={G_F \over \sqrt{2}}$$

O_L,R são constantes sem dimensões, e J é uma partícula sem massa de spin zero.

a)

Qual a energia do $\nu_{\mu}$ em função das massas das partículas?

b)

Escreva a amplitude para o processo $\nu_{\tau} \ra \nu_{\mu} + J$.

c)

Calcule a largura de declíneo do processo, não desprezando as massas dos neutrinos, $m_{\nu_{\tau}}$ e $m_{\nu_{\mu}}$. No referencial do $\nu_{\tau}$ qual a distribuição angular da partícula J?

d)

Argumentos da astrofísica põem limites no tempo de vida média de neutrinos com massa. Esses neutrinos devem decair suficientemente depressa. O limite depende da massa do neutrino e é dado por

$$\tau_{\nu_{\tau}} < 1.5 \times 10^{7}\ \left( {m_{\nu_{\tau}} \over \hbox{1\ keV}}\right)^{-2} \ \hbox{anos}$$

Suponha que O_L=-O_R e despreze agora a massa do $\nu_{\mu}$ (mas não a do $\nu_{\tau}$, porquê?). Qual o constangimento a que |O_L| tem que obedecer em função da massa do $\nu_{\tau}$? Faça uma tabela com os valores máximos de |O_L| para $m_{\nu_{\tau}}=$ 1 keV, 100 keV, 1 MeV e 10 MeV.

Dados: M_W=80 GeV, $G_F=1.166 \times 10^{-5}\ GeV^{-2}$ e a relação entre a largura e o tempo de vida média é

$$\Gamma( \hbox{MeV})= 6.58 \times 10^{-22} \ {1 \over \tau ( \hbox{ seg})}$$