Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 1997/98 (21/1/98)

I

Verifique explicitamente as seguintes identidades:

a)

$Tr[a\!\!\! /_1,a\!\!\! /_2,\ldots,a\!\!\! /_{2n}]= Tr[a\!\!\! /_{2n},\ldots,a\!\!\! /_1]$.

b)

$u^{\dagger}(p,s) u(p,s')=2\ E_p\ \delta_{ss'} \qquad \hbox{onde} \qquad E_p= \sqrt{ \vert \vec p \vert^2 + m^2}$

c)

$\sigma^{\mu \nu} \gamma^{\alpha} \sigma_{\mu \nu} = A\, \gamma^{\alpha} +B\, \gamma^{\alpha} \gamma_5.$ Determine A e B.

II

Considere o processo $e^+ e^- \rightarrow\gamma + \gamma$ em QED.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se

$${\cal M}=\epsilon^{\mu}(k_1)\, \epsilon^{\nu}(k_2) {\cal M}_{\mu \nu}$$

$$k_1^{\mu} {\cal M}_{\mu \nu}= k_2^{\nu} {\cal M}_{\mu \nu} =0$$

III

Considere o processo $\overline{\nu}_e + e^- \rightarrow\mu^- + \overline{\nu}_{\mu}$no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) e escreva a amplitude invariante para o processo.

b)

Considere que todas as energias são muito inferiores à massa do W. Escreva a expressão para a amplitude nessa aproximação.

c)

Mostre que no limite em que se desprezam todas as massas dos fermiões (mas sendo ainda válida a aproximação da alínea anterior) a secção eficaz se pode escrever

$$\sigma= {G_F^2 \over 3 \pi}\, s$$

onde s é o quadrado da energia no centro de massa e

$${G_F\over \sqrt{2}}={g^2 \over 8m^2_W}$$