Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 2000/2001 (25/1/2001)

I

a)

Considere a combinação de matrizes $\Gamma = p\!\!\! /_1\, (a - b\, \gamma_5)\, p\!\!\! /_2\,p\!\!\! /_3\, (a + b\, \gamma_5)$,onde a e b são constantes e p_i são 4-momentos arbitrários. Calcule $\overline{\Gamma}=\gamma^0 \Gamma^{\dagger} \gamma^0$.

b)

Mostre que $u^{\dagger}(p,s) u(p,s')=2\ E_p\ \delta_{ss'} \qquad \hbox{onde} \qquad E_p= \sqrt{ \vert \vec p \vert^2 + m^2}$

c)

Seja $\sigma^{\alpha \nu} \gamma^{\mu} \sigma_{\mu \nu} = A\, \gamma^{\alpha} +B\, \gamma^{\alpha} \gamma_5.$ Determine A e B.

d)

Calcule a energia mínima do feixe de $\nu_{\mu}$'s no referencial do laboratório (onde o electrão está em repouso) para que o processo $\nu_{\mu} + e^- \rightarrow\mu^- +\nu_e$ seja possível.

II

Considere o processo $\gamma + \gamma \rightarrow\mu^+ \mu^-$ em QED generalizada, isto é onde se consideram as interacções dos fotões com todas as partículas carregadas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se

$${\cal M}=\epsilon^{\mu}(k_1)\, \epsilon^{\nu}(k_2) {\cal M}_... ...m k_1^{\mu} {\cal M}_{\mu \nu}= k_2^{\nu} {\cal M}_{\mu \nu} =0$$

III

Considere o processo $\tau^- \rightarrow\pi^- + \nu_{\tau}$. O vértice é dado por

a)

Escreva a amplitude invariante para o processo.

b)

Calcule a largura de decaimento $\Gamma(\tau^- \rightarrow\pi^- + \nu_{\tau})$. Considere nula a massa do $\nu_{\tau}$ mas não a das outras partículas.

c)

Sabendo que o tempo de vida média do $\tau$ é $\tau_{\tau}=2.96 \times 10^{-13} s$ calcule a fracção de decaimento (Branching Ratio) daquele canal.

Dados:

$$\begin{array} {l} m_e=0.511\, MeV, m_{\mu}=105.658\, MeV, m_... ... 10^{-5}\, GeV^{-2}, V_{ud}=0.975, f_{\pi}=90\, MeV.\end{array}$$