INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 2001/2002 (22/2/2002)

I

Construa os spinores normalizados u⁺ e u^- representando electrões com energia positiva e momento $\vec p$ e helicidade $\pm 1$, isto é, que são vectores próprios do operador $(\vec p \cdot \vec \Sigma) / \vert\vec p\vert$, com valor póprio $\pm 1$. Para isso siga os passos seguintes:

a)

Considere o caso de helicidade +1. Seja $u^+=\left( \begin{array}{c} u^+_A\\ u^+_B\\ \end{array} \right)$ com $u^+_A=\left( \begin{array}{c} u_1\\ u_2\\ \end{array} \right)$ e $u^+_B=\left( \begin{array}{c} u_3\\ u_4\\ \end{array} \right)$. Mostre que $$\frac{u_1}{u_2}=\frac{p_z+ \vert\vec p\vert}{p_x + i p_y}$$.

b)

Use a equação de Dirac para escrever u⁺_B em função de u⁺_A.

c)

Normalize o spinor u⁺ de acordo com a condição $\left(u^+\right)^{\dagger} u^+ = 2 E$ ou se preferir, $\overline{u^+} u^+ = 2 m$. Obtenha assim a expressão final para u⁺.

d)

Quais as alterações para u^-?

II

Considere a interacção do fotão com uma partícula escalar de carga negativa $\phi^-$ (Electrodinâmica Escalar). Os vértices são

$$\hskip 1mm ie (q + p)^{\mu} \hskip 25mm 2i\, e^2\ g^{\mu\nu}$$

Dentro deste modelo considere o processo equivalente ao efeito de Compton, $\gamma(k) + \phi^-(p) \ra \gamma(k') + \phi^-(p')$ onde k, p, k' e p' são os momentos das partículas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k) \epsilon^{\nu}(k') {\cal M}_{\mu\nu}$, então temos $k^{\mu} {\cal M}_{\mu \nu }=0$ e $k'^{\nu} {\cal M}_{\mu \nu }=0$ (basta mostrar para um dos casos).

III

Considere os processos $\nu_{\mu} e^- \ra \nu_{\mu} e^-$, $\overline{\nu}_{\mu} +e^- \ra \overline{\nu}_{\mu} +e^-$ no quadro do SM. No referencial do laboratório o electrão pode ser considerado parado e a energia do $\nu_{\mu}$ é E.

a)

Escreva as amplitudes para os dois processos.

b)

Calcule, para os dois casos, a secção eficaz diferencial $d \sigma /dy$ onde y=1-E'/E é a fracção da energia perdida pelo neutrino (E' é a energia final do neutrino). Escreva o resultado em função de m_e, G_F, E, y e $x=\sin^2 \theta_W$.

c)

Obtenha as expressões para as secções eficazes totais.

d)

Calcule $R(x)=\sigma(\nu_{\mu} e^- \ra \nu_{\mu} e^-)/ \sigma(\overline{\nu}_{\mu} +e^- \ra \overline{\nu}_{\mu} +e^-)$. Verifique que R(0.25)=1.