Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 2003/2004 (26/6/2004)

I

No instante t=0 um estado do electrão é descrito pela função de onda

$$\psi(\vec x,0)=\phi(\vec x) w^1(0)\nn$$

sendo a função $\phi(\vec x)$ só significativamente diferente de zero numa vizinhança $\Delta r$ da origem.

a)

Mostre que os coeficientes da expansão em ondas planas

$$\psi (x) = \int {d^3 p \over (2 \pi)^3} {1 \over 2 E} \sum_s... ...s) e^{- i p \cdot x} + d^* (p, s) v (p, s) e^{i p x}\Big] \nn$$

se podem escrever na forma

$$b(p,s)=u^{\dagger}(p,s) w^1(0) \widetilde{\phi}(p),\quad d^*(p,s)=v^{\dagger}(p,s) w^1(0) \widetilde{\phi}(p)\nn$$

onde

$$\widetilde{\phi}(p)=\int d^3 x \phi(\vec x) e^{i \vec p \cdot \vec x} . \nn$$

b)

Utilize as expressões anteriores para calcular as razões

$$\frac{b(p,\downarrow)}{b(p,\uparrow)}, \qquad \frac{d(p,\u... ...\uparrow)}, \qquad \frac{d(p,\downarrow)}{b(p,\uparrow)}\nn$$

Pode precisar da expressão,

$$w^r (\vec p ) = \frac{1}{\sqrt{2 m}}\frac{1}{\sqrt{E + m}} (\varepsilon_r \slash{p} + m) w^r (0) \nn$$

c)

Discuta em que condições são importantes as soluções de energia negativa.

II

Considere o processo $\gamma(k_1) + \gamma(k_2) \ra e^-(q_1) + e^+(q_2)$ em QED, onde k₁, k₂, q₁ e q₂ são os momentos das partículas indicadas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k_1) \epsilon^{\nu}(k_2) {\cal M}_{\mu \nu}$ onde k_i são os 4-momentos dos fotões, então temos $k_1^{\mu} {\cal M}_{\mu \nu}=k_2^{\nu} {\cal M}_{\mu\nu }=0$ (mostre só para um caso).

III

Considere o processo $\nu_e d \rightarrow e^- u$ no quadro das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Calcule no referencial do centro de massa a secção eficaz diferencial, $d\sigma /d \Omega$, no limite em que se pode desprezar a massa de todas as partículas no estado inicial e final. $\Omega$ corresponde ao ângulo sólido do electrão em relação à direcção do $\nu_e$.

d)

Calcule a secção eficaz total, $\sigma(s)$, e mostre que

$$\lim_{\sqrt{s} \gg m_W} \sigma(s) = \sigma_0 \left(\frac{s}{m^2_W}\right)^{\alpha}$$

Determine as constantes $\sigma_0$ e $\alpha$.

Informação útil

1. 
   
   Os vértices relevantes são,
   
   

   
   
   

   
   
   
   onde $\psi_u=\nu_e,\nu_{\mu},\ldots,u,c,\ldots$ e $\psi_d=e^-,\mu^-,\ldots,d,s,\ldots$.

2. O resultado seguinte pode ser útil

   
   

   $$\int_{-1}^1 dx \frac{1}{\left( 1 + a - x\right)^2} = \frac{2}{a \left(a +2 \right)}$$
   
   

3. É dado o resultado do seguinte traço

   
   

   $$Tr[\slash{p}_1 \slash{p}_2 \slash{p}_3 \slash{p}_4 \gamma_5... ...nu\alpha\beta} p_1^{\mu} p_2^{\nu} p_3^{\alpha} p_4^{\beta}$$