INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 1996/97

(18/3/97)

I

Verifique explicitamente as seguintes identidades:

a)

$u^{\dagger}(p,s) u(p,s')=2\ E_p\ \delta_{ss'} \qquad \hbox{onde} \qquad E_p= \sqrt{ \vert \vec p \vert^2 + m^2}$

b)

$\gamma^{\mu} \gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}\gamma^{\nu}\gamma_{\alpha} \gamma_{\... ...lpha \beta} + D \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\ \sigma_{\alpha \beta} \gamma_5$.Determine A, B, C e D.

c)

$\sigma ^{\mu \nu} \sigma_{\mu \nu}=A + B \gamma_5$.Determine A e B.

II

Considere o processo $\mu^+ \mu^- \ra \nu_e\ \ovl{\nu}_e \gamma$no quadro do modelo padrão das interações electrofracas.

a)

Desenhe os diagramas que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude total na forma

$$M= \epsilon^{\mu} (k) \ M_{\mu}$$

onde k é o 4-momento do $\gamma$.

c)

Mostre a invariância de gauge em relação ao fotão, isto é,

$$k^{\mu}\ M_{\mu}=0$$

III

Considere uma teoria mais geral que o modelo padrão das interações electrofracas onde existem n fermiões f^-_i e as suas antipartículas f⁺_i onde $i=1,2,\ldots n$. A interação mais geral com o Z é dada por

$${i g \over \cos \theta_W }\ \gamma_{\mu} \left(O_L P_L + O_R P_R \right)$$

a)

Escreva a amplitude para o processo $Z \ra f^-_i f^+_j$.

b)

Mostre que a expressão para a largura é

$$\Gamma ={m_Z \over 24 \pi}\ {g^2 \over \cos^2 \theta_W}\ \sqrt{ \Big[1- (x_i+x_j)^2 \Big] \Big[ 1 -(x_i-x_j)^2 \Big]}$$

$$\left\{ (O^2_L +O^2_R) \left[ 1-{1 \over 2}(x^2_i+x^2_j)- {1 \over 2} (x^2_i-x^2_j)^2 \right] + 6 O_L O_R x_i x_j \right\}$$

onde $x_i={m_i \over m_Z}$.

c)

Mostre que no caso de f^-_i=f^-_j=e (electrão) a expressão anterior se reduz ao resultado conhecido dado no livro.