Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 1997/98 (11/2/98)

I

a)

Considere a combinação de matrizes $\Gamma = p\!\!\! /_1\, p\!\!\! /_2\,p\!\!\! /_3\, (1 -\gamma_5)$,onde p_i são 4-momentos arbitrários. Calcule $\overline{\Gamma}=\gamma^0 \Gamma^{\dagger} \gamma^0$.

b)

Verifique que $\overline{u}(p,s) u(p,s')=2\ m\ \delta_{ss'}$.

c)

Verifique a identidade $\epsilon^{\alpha \beta \mu \nu} \epsilon_{\alpha \beta}{}^{\rho \sigma} =A\, g^... ...igma} + B\, g^{\mu \rho}\, g^{\nu \sigma} + C\, g^{\mu \sigma}\, g^{\nu \rho}$. Determine A, B e C.

II

Considere o processo $\nu_{\mu} + e^- \rightarrow\nu_{\mu} +e^- + \gamma$no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k)\, {\cal M}_{\mu}$ onde k é o 4-momento do fotão, então temos $k^{\mu} {\cal M}_{\mu }=0$.

III

Considere o processo $\nu_{\mu} + e^- \rightarrow\nu_{\mu} +e^-$no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) e escreva a amplitude invariante para o processo.

b)

Considere que todas as energias são muito inferiores à massa do Z. Escreva a expressão para a amplitude nessa aproximação.

c)

Mostre que no limite em que se desprezam todas as massas dos fermiões (mas sendo ainda válida a aproximação da alínea anterior) a secção eficaz no referencial do centro de massa se pode escrever

$$\sigma= {32 G_F^2 s\over 3 }\ \left[ \left( {g_V^{\nu}}^2 +... ...2 +{g_A^e}^2 \right) +2 g_V^{\nu} g_A^{\nu} g_V^e g_A^e \right]$$

onde s é o quadrado da energia no centro de massa e $G_F / \sqrt{2}=g^2 / 8m^2_W$.

d)

Determine $\sigma$ em picobarns sabendo que no referencial do laboratório (onde os electrões se podem considerar parados) o $\nu_{\mu}$ tem a energia de 1 GeV.

e)

Sem fazer as contas escreva a secção eficaz para o processo $\overline{\nu}_{\mu} + e^- \rightarrow\overline{\nu}_{\mu} +e^-$.