INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 1998/99 (5/2/99)

I

a)

Considere a combinação de matrizes $\Gamma = {p\!\!\! /}_1\, P_L\, {p\!\!\! /}_2\,P_R\, {p\!\!\! /}_3\,$,onde p_i são 4-momentos arbitrários, $P_L=(1-\gamma_5)/2$ e $P_R=(1+\gamma_5)/2$. Calcule $\ovl{\Gamma}=\gamma^0 \Gamma^{\dagger} \gamma^0$.

b)

Verifique a identidade $u^{\dagger}(p,s) u(p,s')=2\ E_p\ \delta_{ss'}$ onde $E_p= \sqrt{ \vert \vec p \vert^2 + m^2}$.

c)

Verifique a identidade $\sigma^{\mu\nu} \gamma^{\alpha \beta} \sigma_{\mu\nu} =A\, g^{\alpha \beta}\, + B\, \sigma^{\alpha \beta}$. Determine A e B.

II

Considere o processo $e^- + e^+ \ra \mu^+ + \mu^- + \gamma$no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k)\, {\cal M}_{\mu}$ onde k é o 4-momento do fotão, então temos $k^{\mu} {\cal M}_{\mu }=0$.

III

Considere o processo $\mu^- + e^+ \ra \nu_{\mu} + \ovl{\nu}_e$no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) e escreva a amplitude invariante para o processo.

b)

Considere que todas as energias são muito inferiores à massa do Z. Escreva a expressão para a amplitude nessa aproximação.

c)

Mostre, utilizando argumentos dimensionais, que no limite em que se desprezam todas as massas dos fermiões (mas sendo ainda válida a aproximação da alínea anterior) a secção eficaz se pode escrever na forma

$$\sigma= \lambda\, G_F^2\, s$$

onde s é o quadrado da energia no centro de massa, $\lambda$ é uma constante adimensional e

$${G_F\over \sqrt{2}}={g^2 \over 8m^2_W}$$

d)

Determine a constante $\lambda$ da alínea anterior.