INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 1998/99 (22/2/99)

I

Verifique explicitamente as relações:

a)

$\ovl{u}(p_1,s_1) \gamma^{\mu} u(p_2,s_2)= {\ds 1 \over\ds 2m}\ \ovl{u}(p_1,s_1) \left[ (p_1+p_2)^{\mu} + i \sigma^{\mu \nu} (p_1-p_2)_{\nu} \right] u(p_2,s_2)$.

b)

$\sigma^{\mu \nu}\, (1-\gamma_5)\, \sigma_{\nu}{}^{\alpha} (1 -\gamma_5)\, \gamma_{\alpha} = A \gamma^{\mu} + B \gamma^{\mu} \gamma_5$. Determine A e B.

c)

$Tr\left[ {p\!\!\! /}_1\, {p\!\!\! /}_2\, \ldots {p\!\!\! /}_{n}\right] =Tr\left[ {p\!\!\! /}_n\, {p\!\!\! /}_{n-1}\, \ldots {p\!\!\! /}_1\right]$.

II

Considere em QED o processo a 1-loop com 3 fotões nas linhas externas. A amplitude para o processo escreve-se,

$${\cal M}= \epsilon^{\mu}(k_1)\epsilon^{\nu}(k_2)\epsilon^{\rho}(k_3)\, {\cal M}_{\mu \nu \rho}$$

a)

Quais o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo?

b)

Escreva uma expressão para a amplitude ${\cal M}$.

c)

Mostre que ${\cal M}=0$.
Notas:
i) Não precisa, obviamente, de efectuar os integrais, nem sequer os traços.
ii) Admita que os integrais estão regularizados para poder efectuar mudanças de variável.
iii) O resultado do problema I c) poderá ser útil.

III

Considere o processo $Z \ra H + J$ numa teoria que no sector leptónico é o modelo padrão das interações electrofracas mas que para além do Higgs normal H tem um campo pseudo-escalar J, sem massa e com o acoplamento

$$\hskip 2 cm {g \over 2 \cos \theta_W }\ (p_2-p_1)^{\mu}$$

a)

Escreva a amplitude para o processo.

b)

Calcule a largura de decaimento em função das massas m_Z e m_H.

c)

Mostre que no limite $m_H \ll m_Z$ a contribuição deste processo para a largura do Z é equivalente a 1/2 duma família de neutrinos.