Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 1999/2000 (3/2/2000)

I

a)

Considere a combinação de matrizes $\Gamma = {/ \!\!\! p}_1\, ({/ \!\!\! p}_2 + m) \, P_L\, ({/ \!\!\! p}_3 -m)$,onde p_i são 4-momentos arbitrários e $P_L=(1-\gamma_5)/2$. Calcule $\overline{\Gamma}=\gamma^0 \Gamma^{\dagger} \gamma^0$.

b)

Verifique a identidade $\gamma_{\mu}\, \sigma^{\mu \nu}\, (1 - \gamma_5) \sigma_{\nu \alpha}\, (1 - \gamma_5)\, \gamma^{\alpha}= A + B\, \gamma_5$. Determine A e B.

c)

Verifique a identidade $\overline{u}(p_1)\, \gamma_{\mu}\, v(p_2)\, (a p_1 + b p_2)^{\mu}= A\, \overline{u}(p_1) v(p_2)$, onde a e b são constantes numéricas, p_i são 4-momentos e os spinores u e v dizem respeito à mesma partícula de massa m. Determine A.

II

Considere o processo $W^- \rightarrow e^- + \overline{\nu}_e + \gamma$no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

Mostre que a amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k)\, {\cal M}_{\mu}$ onde k é o 4-momento do fotão, então temos $k^{\mu} {\cal M}_{\mu }=0$. Considere apenas o caso em que se desprezam as massas dos leptões.

Nota: O fotão tem interacção com todas as partículas carregadas, e portanto também com o $W^{\pm}$. O vértice é

onde os momentos e as partículas são todas consideradas a entrar no vértice.

III

Considere o processo $H \rightarrow f + \overline{f}$ no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas, onde H é um campo escalar (spin ) neutro designado por bosão de Higgs e f é qualquer fermião com massa do modelo. Sabe-se que o vértice relevante é

a)

Escreva a amplitude invariante para o processo.

b)

Calcule a largura $\Gamma(H \rightarrow f \overline{f})$ em função das massas m_H e m_f.

c)

Considere que m_H=100 GeV. Neste caso os únicos canais de declínio são os considerados na alínea anterior. Encontre uma expressão para a razão de declínio (Branching Ratio) para um dado fermião f_i definida por

$$BR(H \rightarrow f_i \overline{f}_i)= \frac{\Gamma(H \righta... ...erline{f}_i)} {\sum_j \Gamma(H \rightarrow f_j \overline{f}_j)}$$

d)

Determine o BR para o canal de declínio mais favorável (maior BR).

Dados:

$$\begin{array} {l} m_t=175\, GeV, m_b=4.8\, GeV, m_c=1.4\, Ge... ...eV, m_{\mu}=105.65\, MeV, m_e=0.511\, MeV, m_{\nu}=0\end{array}$$

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