Exame de Introdução à Teoria do Campo

Curso de Física Tecnológica - 1999/2000 (25/2/2000)

I

a)

Considere a combinação de matrizes $\Gamma = {/\!\!\! p}_1\, (g_V - g_A\, \gamma_5) \, ({/\!\!\! p}_2 -m) (g_V - g_A\, \gamma_5) \, {/\!\!\! p}_3$,onde p_i são 4-momentos arbitrários. Calcule $\overline{\Gamma}=\gamma^0 \Gamma^{\dagger} \gamma^0$.

b)

Verifique a identidade $\sigma^{\mu \alpha}\, (1 + \gamma_5)\, \gamma_{\mu}\, (1 - \gamma_5)\, \gamma_{\alpha}= A + B\, \gamma_5$. Determine A e B.

c)

Verifique a identidade $\overline{v}(p_1)\, \gamma_{\mu}\, \gamma_{\nu} u(p_2)\, (a p_1 + b p_2)^{\mu}\, (p_1 -p_2)^{\nu}= A\, \overline{v}(p_1) u(p_2)$, onde a e b são constantes numéricas, p_i são 4-momentos e os spinores u e v dizem respeito à mesma partícula de massa m. Determine A.

II

Considere o processo $e^- e^+ \rightarrow \nu_e + \overline{\nu}_e + \gamma$no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas.

a)

Desenhe o(s) diagrama(s) que contribuem para o processo em ordem mais baixa.

b)

Escreva a amplitude para o processo.

c)

A amplitude é invariante de gauge, isto é, se ${\cal M}\equiv\epsilon^{\mu}(k)\, {\cal M}_{\mu}$ onde k é o 4-momento do fotão, então temos $k^{\mu} {\cal M}_{\mu }=0$. Mostre que isto acontece para o subconjunto de diagramas em que aparece o $W^{\pm}$. Pode desprezar a massa do electrão.

Nota: O fotão tem interacção com todas as partículas carregadas, e portanto também com o $W^{\pm}$. O vértice é

onde os momentos e as partículas são todas consideradas a entrar no vértice.

III

Considere os processo $H \rightarrow f + \overline{f}$, $H \rightarrow W^+ W^-$, e $H \rightarrow Z^o Z^o$ no quadro do modelo padrão das interacções electrofracas, onde H é um campo escalar (spin ) neutro designado por bosão de Higgs, f é qualquer fermião com massa do modelo, $W^{\pm}$ e Z^o são os campos de vectoriais (spin 1) com massa do modelo, que juntamente com o fotão $\gamma$ são os responsáveis pelas interacções electrofracas. Sabe-se que os vértices relevantes são

a)

Escreva as amplitudes para os 3 processos.

b)

Calcule as larguras parciais $\Gamma(H \rightarrow f \overline{f})$, $\Gamma(H \rightarrow W^+ W^-)$ e $\Gamma(H \rightarrow Z^o Z^o)$ em função das massas m_H, m_f m_W e m_Z.

c)

Considere que m_H=170 GeV. Calcule a razão de declínio (Branching Ratio) para o canal $H \rightarrow b \overline{b}$ definida por

$$BR(H \rightarrow b \overline{b})= \frac{\Gamma(H \rightarrow b \overline{b})}{\Gamma (H \rightarrow \hbox{tudo})}$$

d)

Compare o resultado obtido na alínea anterior com o que se obteria se m_H=100 GeV ou m_H=250 GeV.

Dados:

$$\begin{array} {l} m_t=175\, GeV, m_b=4.8\, GeV, m_c=1.4\, Ge... ...=0.511\, MeV, m_{\nu}=0\\ m_W=80\, GeV, m_Z=91\, GeV\end{array}$$

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