Teorias de Gauge Não Abelianas ao Nível Clássico

1.

Mostre que o tensor $F_{\mu\nu}^a$ dos campos de Yang-Mills satisfaz as identidades de Bianchi:

$$D_{\mu}^{ab} F_{\rho\sigma}^b + D_{\rho}^{ab} F_{\sigma\mu}^b + D_{\sigma}^{ab} F_{\mu\rho}^b=0$$

ou

$$D_{\mu}^{ab}{}^*\!F^{\mu\nu\ b}=0$$

onde

$${}^*F^{\mu\nu\ a}={1 \over 2}\ \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\rho\sigma}^a$$

2.

Explique o significado geométrico da Identidades de Bianchi.
Sugestão: Veja o artigo de R.P. Feynman em Les Houches, Session XXIX, 1976, North Holland, 1977, Pags: 135-140.

3.

Considere a teoria de Yang-Mills (YM) sem matéria.

(a)

Mostre que as eqs. de YM sem matéria se podem escrever na forma

$$\left\{ \begin{array} {ll} \vec \nabla \cdot \vec E^a= \rho^... ...l \vec E^a \over \partial t} +{}^*\!\vec J^a\end{array}\right.$$

calcule $\rho^a$, ${}^*\rho^a$, $\vec J^a$ e ${}^*\vec J^a$.

(b)

Mostre que as 4-correntes $j_{\mu}^a\equiv(\rho^a,\vec J^a)$ e ${}^*j_{\mu}^a\equiv({}^*\rho^a,{}^*\vec J^a)$ são conservadas.

4.

Mostre que $\hbox{Tr} \left({}^*\!F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \right)$é uma 4-divergência. Comente sobre a sua inclusão na acção.

5.

Mostre que o seguinte Ansatze (S. Coleman, Phys. Lett 70B (77), 59)

$$\begin{eqnarray} &&A^{1a}=A^{2a}=0 \cr \vbox to 20 pt{}&&A^{0a}=-A^{3a}=x^1 f^a(x^0+x^3)+x^2 g^a(x^0+x^3) \end{eqnarray}$$
onde f^a e g^a são funções arbitrárias, são soluções das equações de YM sem matéria. Discuta esta solução.

6.

Considere o Ansatze de Wu-Yang para soluções estáticas em SU(2) YM.

$$A^{0a}=x^a\ {G(r) \over r^2} \hskip 2 true cm A^{ia}= \varepsilon^{aij}\ x^j {F(r) \over r^2}$$

• Deduza as equações a que F e G devem obedecer.
• Mostre que elas são satisfeitas para F=-1/g e G= constante. Mostre que estas soluções correspondem a $\rho^a={}^*\rho^a=0$e $\vec J^a={}^*\vec J^a=0$. ($\rho^a$, ... são definidos no problema 2.14).
• Para as soluções da alínea b) descreva o potencial e os campos e calcule a energia.